群(group)

wiki：https://zh.wikipedia.org/wiki/群

是由一個集合 $G$ 和一個二元運算子 $\cdotp$ 構成

二元運算子 $\cdotp$ 不代表乘法，只要滿足輸入是兩個元素，輸出是一個元素就可以

記做$(G,\cdotp )$

需要滿足以下性質：

封閉性

若 $a \in G, b \in G$，則 $a\cdotp b \in G$

從集合中任意取出兩個元素相乘後的元素還是落在集合內。

結合性

對於所有 $G$ 中的 $a, b$ 和 $c$，等式 $(a \cdotp b)\cdotp c = a \cdotp (b \cdotp c)$ 成立。

有單位元素(Identity Element)

• 通常以 $e$ 表示單位元素

任何元素跟 $e$ 做運算後不會改變他的值

如果是整數加法的話，單位元素是 0

如果是整數乘法的話，單位元素是 1

反元素

對於每個 $G$ 中的 $a$，存在 $G$ 中的一個元素 $b$ 使得 $a\cdotp b = b\cdotp a = e$，這裏的 $e$ 是單位元素。

如果是整數加法的話，$a$ 的反元素是 $-a$

如果是整數乘法的話，$a$ 的反元素是 $1/a$

各種群的介紹

小群列表

對稱群

wiki：https://zh.wikipedia.org/wiki/對稱群_(n次對稱群)

集合$X$上的對稱群記作$S_{X}$或$Sym(X)$。它的元素是所有$X$到$X$自身的對射組成的群。

也就是列出所有集合$X$的所有元素的排列方式。

舉例： $S_{2}$ 代表兩個元素$1,2$的排列方法，有兩種排法：

$1,2$

$2,1$

我們設$1,2$是$e$，2,1 是$\tau$

$\tau$ 代表的意義

可以這樣思考：

• 值：排列狀態 $2,1$
• 向量：從 $1,2$ 變成 $2,1$，也就是第一個元素與第二個元素互換

所以 $\tau \cdotp \tau$ 就是 $e$，因為第一個元素與第二個元素互換兩次之後等於沒換。

$S_{2}$

$S_{2}$ 是一個群，群裡面有兩個元素 $e, \tau$，其中：

• $e \cdotp e = e$
• $e \cdotp \tau = \tau$
• $\tau \cdotp e = \tau$
• $\tau \cdotp \tau = e$

$S_{n}$

$S_{n}$ 是一個群，群裡面有 $n!$ 個元素，因為n個元素的總排列數為 $n!$。每一種排列代表一個元素。

循環群(cyclic group)

由一個元素生成的群

標記為 $C_{n}$

整數同餘加法群 Z/nZ

將整數同除以 n 取餘數所生成的群

交錯群

交錯群（alternating group）是一個有限集合偶置換之群。集合 {1,...,n} 上的交錯群稱為 n 階交錯群，或 n 個字母上的交錯群，記做 $A_{n}$。

是對稱群的子群

二面體群

二面體群 $D_{2n}$ 是正 $n$ 邊形的對稱群，具有 $2_{n}$ 個元素。某些書上則記為 $D_{n}$

克萊因四元群

記作 $V$，同構於4階的二面體群，是交錯群$A_{4}$ 的正規子群